Loading... 在进行对比之前，先把FT、FS、DTFT、DFS、DFT的公式列出来。 <p style="color:red">公式加载不出来刷新一下即可。</p> $$ FT : X(j\Omega ) = \int_{-\infty }^{+\infty} x(t) e^{-j\Omega t} dt $$ $$ FS : X(k \Omega _{0} ) = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2}} x(t) e^{-jk\Omega _{0} t} dt $$ $$ DTFT : X(e^{j\omega } ) = \sum_{-\infty }^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n } $$ $$ DFS : X(k) = \sum_{0 }^{N-1} x(n) e^{-j \frac{2\pi }{N} n k} $$ $$ DFT : X(k) = \sum_{0 }^{N-1} x(n) W_{N}^{kn} $$ 再放一张图，让大家对时域和频率的图像有一个直观的认识。 <img src="data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAEAAAABCAYAAAAfFcSJAAABS2lUWHRYTUw6Y29tLmFkb2JlLnhtcAAAAAAAPD94cGFja2V0IGJlZ2luPSLvu78iIGlkPSJXNU0wTXBDZWhpSHpyZVN6TlRjemtjOWQiPz4KPHg6eG1wbWV0YSB4bWxuczp4PSJhZG9iZTpuczptZXRhLyIgeDp4bXB0az0iQWRvYmUgWE1QIENvcmUgNS42LWMxMzggNzkuMTU5ODI0LCAyMDE2LzA5LzE0LTAxOjA5OjAxICAgICAgICAiPgogPHJkZjpSREYgeG1sbnM6cmRmPSJodHRwOi8vd3d3LnczLm9yZy8xOTk5LzAyLzIyLXJkZi1zeW50YXgtbnMjIj4KICA8cmRmOkRlc2NyaXB0aW9uIHJkZjphYm91dD0iIi8+CiA8L3JkZjpSREY+CjwveDp4bXBtZXRhPgo8P3hwYWNrZXQgZW5kPSJyIj8+IEmuOgAAAA1JREFUCJljePfx038ACXMD0ZVlJAYAAAAASUVORK5CYII=" data-original="http://kevinnan.org.cn/usr/uploads/2020/10/1464300176.png" style="zoom:80%;" /> 下图是我总结的这五种变换的关系图。之后我将详细地讨论。  #### FT和FS区别 （1）FT对应非周期，FS对应周期； （2）FS“无穷多”正弦 指取基波频率$\Omega _{0}$整数倍的正弦；FT是在$\Omega$ 上连续取值的正弦； （3）$X(k \Omega _{0}) $ 取值离散，$X(j \Omega) $取值连续； #### DFS和DFT区别 显然，从定义公式上就可以看出：DFT并不是一个新的傅里叶变换形式，它实际上来自DFS，只不过仅在频域上取一周期就得到DFT。 #### DTFT和DFT区别 DTFT在频域上采样得到DFT。 #### DTFT和DFS区别 当输入序列为离散周期序列时，DTFT也是离散的。此时DTFT和DFS的包络线一致，不同之处在于DFS是冲击序列，而DTFT为有限值。 #### FT和DFT区别 我将从连续信号抽样到DFT变换这个完整流程来解释DFT对FT的近似。  由上图。当我们得到一个模拟信号xa(t)，要分析它的频谱，需要通过**时域连续的傅里叶变换（FT）**变换到频域然后分析，于是有了模拟信号的频谱，如图1最上方。 但是此时时域和频域都是都是连续的，计算机无法处理。因此，我们需要对模拟信号进行采样，以Ts为采样周期对xa(t)进行时域采样得到离散信号xa(n)，此时对这个离散信号做**时域离散的傅里叶变换（DTFT）**，结果如图1第三幅图片所示。 但是我们注意到此时DTFT的结果频域是连续的，对于计算机依旧无法在频域内对信号进行处理。刚刚我们对时域进行了采样，得到了时域离散信号。那么现在我们能否对频域也进行采样呢？这样不就可以得到频域离散的信号了吗？是的，这就是上面提到的DTFT和DFT的区别。 但是，我们大部分情况需要一致对时域信号进行处理，最终得到离散的频域信号。所以我们更需要对x(n)信号进行处理，我们先对xa(n)这个无限长的信号进行做截短处理，得到x(n)。假设此时x(n)的长度为M，根据DFT的要求，我们要对x(n)做N点均匀抽样（N >= M），得到xN(n)。此时对xN(n)信号做DFT变换就可以得到频域也是离散的信号，如图1第五张图所示。 我们可以发现，从xa(t)到xN(n)，也即从FT到DFT，隐含了频域和时域的两次周期延拓。第一次是对xa(t)信号进行采样时，我们选用了采样周期Ts，这一步对应了FT在频域的周期延拓$ Xa（e^{j\Omega } ） |_{w=\Omega T_{s} } = \frac{1}{T_{s}}{ \sum_{l=-\infty }^{\infty} Xa(j\Omega- jl\Omega s)} $。第二次是进行IDFT时，得到的$ X_N(n) $与$Xa(t)$的近似关系。这实际上是由$X(n)= \sum X_N(n+lN)$的时域周期延拓所造成的。显然N取的越大，混叠越轻，$ X_N(n) $ 对$Xa(t)$的近似效果越好。（这里我省略了关于IDFT的讨论，详情可以看[这篇博客](https://blog.csdn.net/YhL_Leo/article/details/49535711)）。 <p style="color:red">最后说明一下，本文主要参考了胡广书的《数字信号处理导论》（第二版）这本书，相比于其他教材，我认为这本书真的是在讲人话，而且对问题的讨论也是深入浅出，以上内容参考p135-p139内容，原书讲的更清楚，我水平还不够，上面写的磕磕绊绊的，以后应该还会再做改动，感兴趣的可以去看看原文。</p> ### 参考资料 [1] 《数字信号处理导论》胡广书. Last modification：October 25th, 2020 at 02:56 pm © 允许规范转载