Loading... ## 1、前言 本文首先给出二维傅里叶变换及其逆变换的连续及离散公式，但并不对其进行推导，原因是二维傅里叶变换可由一维傅里叶变换的推导得出，只需最后将一维变量转为二维变量。其次，本文将给出二维傅里叶变换常用的性质及其推导过程，并结合具体的图像变换过程来形象地说明这些性质在实际的图像处理中究竟有什么意义。 ## 2、二维傅里叶变换及其逆变换 ### 2.1 二维连续傅里叶变换 - 定义 $$ F(u,v) = \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} f(x,y)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy $$ - 逆变换 $$ f(x,y) = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} F(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv $$ - 傅里叶变换特征参数 $$ F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v) $$ - 频谱/幅度谱 $$ |F(u,v)|=\sqrt{R^2(u,v)+I^2(u,v)} $$ - 能量谱/功率谱 $$ P(u,v)=R^2(u,v)+I^2(u,v) $$ - 相位谱 $$ \psi (u,v)=arctan\frac{I(u,v)}{R(u,v)} $$ - 二维离散傅里叶变换 $$ F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} $$ - 二维离散傅里叶逆变换 $$ f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} $$ ### 2.2 傅里叶变换意义 如下图，变换后的图像，大部分能量都分布在低频频段，这对以后的图像压缩、传输都比较有利。  傅里叶变换好比一个玻璃棱镜。棱镜可以将光分成不用颜色的光，每个成分的颜色由波长决定。同样，傅里叶变换将信号分成不同的频率成分，主要由**直流分量+交流分量**组成。  一些图像的傅里叶变换  **图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减。**这使得在现实和观察一幅图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它们时，其高频项变得越来越不清楚。**解决方法：对数化。**   傅里叶变换将图像的**幅度和相位**分开。**幅度代表能量，相位代表图像空间的位置关系。**  **频谱图中暗的点数更多，那么原始图像是比较平滑的。反之，如果频谱图中亮的点数更多，那么原始图像是比较尖锐的。**   ## 3、二维傅里叶变换的性质 > Note：以下性质证明均使用连续傅里叶变换 ### 3.1 平移特性 $$ f(x,y)e^{j2\pi(\frac{u_0x}{M}+\frac{v_0y}{N})}<=>F(u-u_0,v-v_0) $$ $$ f(x-x_0,y-y_0)<=>F(u,v)e^{-j2\pi(\frac{u_0x}{M}+\frac{v_0y}{N})} $$ 也就是说，用指数项乘以$f(x,y)$将使DFT的原点移到$(u_0,v_0)$；反之，用负指数乘以$F(u,v)$将使$f(x,y)$的原点平移到点$(x_0,y_0)$。**即图像平移不影响幅度谱，但影响相位谱。**   > Note：以上两张图像只反映了幅度谱。 **空间位移推导：** $$ f(x-x_0,y-y_0)<=>F(u^{'},v{'}) $$ $$ F(u^{'},v{'}) = \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} f(x-x_0,y-y_0)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy $$ $$ 令x-x_0=a,y-y_0=b $$ $$ F(u^{'},v{'}) = \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} f(a,b)e^{-j2\pi[u(a+x_0)+v(b+y_0)]}dadb $$ $$ F(u^{'},v{'})=e^{-j2\pi(ux_0+vy_0)}\cdot\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} f(a,b)e^{-j2\pi(ua+vb)}dadb $$ $$ F(u^{'},v{'})=F(u,v)\cdot e^{-j2\pi(ux_0+vy_0)} $$ $$ f(x-x_0,y-y_0)<=>F(u,v)\cdot e^{-j2\pi(ux_0+vy_0)} $$ **频域位移推导：** $$ F(u-u_0,v-v_0)<=>f(x^{'},y^{'}) $$ $$ f(x^{'},y^{'}) =\frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} F(u-u_0,v-v_0)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv $$ $$ 令u-u_0=a,v-v_0=b $$ $$ f(x^{'},y^{'}) =\frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} F(a,b)e^{j2\pi[x(a+u_0)+y(b+v_0)]}dadb $$ $$ f(x^{'},y^{'}) =\frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{2\pi} \cdot e^{j2\pi(u_0x+v_0y)} \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} F(a,b)e^{j2\pi(xa+yb)}dadb $$ $$ f(x^{'},y^{'}) =f(x,y) \cdot e^{j2\pi(u_0x+v_0y)} $$ $$ F(u-u_0,v-v_0)<=>f(x,y) \cdot e^{j2\pi(u_0x+v_0y)} $$ ### 3.2 旋转特性 **若$f(x,y)$旋转$\theta$角度，则$F(u,v)$也旋转相同的角度。**  首先假设直角坐标系中的点 $P(x,y)$ ，绕平面中心旋转 $\theta$得 $Q(x^{'},y^{'})$，P和Q之间的关系可表示为： $$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} $$ 以上关系可变换为： $$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$ 变换后的$f(x',y')$傅里叶变换为 $$ F(u^{'},v{'}) = \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} f(x',y')e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy $$ $$ F(u^{'},v{'}) = \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} f(x',y')e^{-j2\pi[u(cos\theta x'-sin\theta y')+v(sin\theta x'+cos\theta y')]}dx'dy' $$ $$ F(u^{'},v{'}) = \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} f(x',y')e^{-j2\pi[x'(ucos\theta +vsin\theta )+y'(-usin\theta +vcos\theta )]}dx'dy' $$ $$ F(u',v')=F(ucos\theta +vsin\theta , -usin\theta +vcos\theta ) $$ 由此可得 $$ \begin{bmatrix} u' \\ v' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} $$ 因此，u,v旋转的角度和x,y旋转的角度相同，得证。 ### 3.3 周期性 同一维情况一样，二维傅里叶变换及其反变换在u方向和v方向是无限周期的。 $$ F(u,v)=F(u+k_1M,v)=F(u,k_2N+v)=F(u+k_1M,v+k_2N) $$ $$ f(x,y)=f(x+k_1M,y)=f(x,k_2N+y)=f(x+k_1M,y+k_2N) $$  ### 3.4 二维卷积定理 $$ f(x,y)\star h(x,y)=\sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} f(m,n)h(x-m,y-n) $$ $$ f(x,y)\star h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v) $$ **卷积定理推导：** $$ F[f(x,y)\star h(x,y)]=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} [f(x,y)\star h(x,y)]e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy $$ $$ F[f(x,y)\star h(x,y)]=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} [\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}f(m,n)h(x-m,y-n)dmdn]e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy $$ $$ F[f(x,y)\star h(x,y)]=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} [\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}h(x-m,y-n)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy]f(m,n)dmdn $$ $$ F[f(x,y)\star h(x,y)]=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} H(u,v)e^{-j2\pi(um+vn)}f(m,n)dmdn $$ $$ F[f(x,y)\star h(x,y)]=F(u,v)H(u,v) $$ ## 4、参考资料 [1] [二维傅里叶变换与坐标旋转](https://zhuanlan.zhihu.com/p/50355468) Last modification：November 13th, 2022 at 01:40 am © 允许规范转载